ベジェ曲面

P (u, v) = ∑_{i=0}^{m} ∑_{j=0}^{n} P_{ij}\binom{m}{i}\binom{n}{j} u^{i}(1 − u)^{m−i} v^{j}(1 − v)^{n−j}  (1)

m, n :  次数
P_{ij} :  制御点
\binom{m}{i} =  \frac{m!}{i!(m − i)!}  \binom{n}{j} = \frac{n!}{j!(m − j)!}

(1) において n = 0 とするとベジェ曲線の式になる

P (u) = ∑_{i=0}^{m} P_{i}\binom{m}{i} u^{i}(1 − u)^{m−i}  (2)

(1) で u について k 階偏微分、さらに v について l 階偏微分

\frac{∂^{k+l}P (u, v)}{∂u^{k} ∂v^{l}} = ∑_{i=0}^{m−k} ∑_{j=0}^{n−l} P′_{klij} \frac{m!}{i!(m − k − i)!} · \frac{n!}{j!(n − l − j)!} u^{i}(1 − u)^{m−k−i} v^{j}(1 − v)^{n−l−j}  (3)

P′_{00ij} =  P_{ij}
P′_{klij} =  P′_{(k−1)l(i+1)j} − P′_{(k−1)lij}  (k > = 1)
=  P′_{u(l−1)i(j+1)} − P′_{u(l−1)ij}  (l > = 1)

(3) において k = l = 0 とすると (1) になる距離 s = |P | = \sqrt{P_{x}^{2} + P_{y}^{2} + P_{z}^{2}} による微分

\frac{dP}{ds} =  \frac{1}{\frac{∂s}{∂u}} \frac{∂P}{∂u} + \frac{1}{\frac{∂s}{∂v}} \frac{∂P}{∂v}
=  s(\frac{1}{P · \frac{∂P}{∂u}} \frac{∂}{∂u} + \frac{1}{P · \frac{∂P}{∂v}} \frac{∂}{∂v})P  (4)
\frac{d^{2}P}{ds^{2}} =  s^{2}(\frac{1}{P · \frac{∂P}{∂u}} \frac{∂}{∂u} + \frac{1}{P · \frac{∂P}{∂v}} \frac{∂}{∂v})^{2}P
=  s^{2}(\frac{1}{(P · \frac{∂P}{∂u})^{2}} \frac{∂^{2}P}{∂u^{2}} + \frac{1}{(P · \frac{∂P}{∂u})(P · \frac{∂P}{∂v})} \frac{∂^{2}P}{∂u∂v} + \frac{1}{(P · \frac{∂P}{∂v})^{2}} \frac{∂^{2}P}{∂v^{2}} )  (5)
\frac{d^{2}P}{ds^{2}} _{(v=const)} =  s^{2} \frac{1}{(P · \frac{dP}{du})^{2}} \frac{d^{2}P}{du^{2}}  (6)

円弧（始点 P_{0}、終点 P_{3}、中心 O、半径 r）を３次ベジェ曲線に近似

P = P_{0}(1 − u)^{3} + 3P_{1}u(1 − u)^{2} + 3P_{2}u^{2}(1 − u) + P_{3}u^{3}  (7)

u = 0, u = 0.5, u = 1 でベジェ曲線上の点が円弧上にあるとして P_{1}, P_{2} を求める

( \begin{matrix}P_{0} \\ P_{1} \\ P_{2} \\ P_{3} \end{matrix} ) =  ( \begin{matrix}P_{0} \\ P_{0} + a \overrightarrow{n_{1}} \\ P_{3} + a \overrightarrow{n_{2}} \\ P_{3} \end{matrix} )

a = r \frac{4(1 − cos \frac{θ}{2})}{3 sin \frac{θ}{2}} = r \frac{4}{3} \frac{\sqrt{1 + cosθ} − 1 − cosθ}{sin θ} = r \frac{4}{3} tan \frac{θ}{4}  (θ = ^{}P̸_{0}OP_{3} < π) (8)
\overrightarrow{n_{1}} : 円弧平面で\overrightarrow{OP_{0}}に垂直な単位ベクトル（\overrightarrow{P_{0}P_{1}}方向）
\overrightarrow{n_{2}} : 円弧平面で\overrightarrow{OP_{3}}に垂直な単位ベクトル（\overrightarrow{P_{3}P_{2}}方向）

点 P と中心 O の距離の２乗\overline{OP}^{2} は、 u の６次式で、極値５個のうち３個は、 u = 0, u = \frac{1}{2}, u = 1 残りの２個を u = \frac{1}{2} ± b (0 < b < 0.5) とおき、 u′ = u − \frac{1}{2} とおくと

\frac{d}{du′} \overline{OP}^{2} =  C_{1}u′(u′ − \frac{1}{2})(u′ + \frac{1}{2})(u′ − b)(u′ + b)  (C_{1} = const)
=  C_{1}u^{′5} − C_{1}(\frac{1}{4} + b^{2})u^{′3} + \frac{C_{1}}{4} b^{2}u′
\overline{OP}^{2} =  \frac{C_{1}}{6} u^{′6} − \frac{C_{1}}{4} (\frac{1}{4} + b^{2})u^{′4} + \frac{C_{1}}{8} b^{2}u^{′2} + C_{2}  (C_{2} = const)  (9)

u′ = 0, u′ = ±\frac{1}{2} のとき

P_{(u′=0)}^{2} =  C_{2} = r^{2}  ∴ C_{2} = r^{2}  (10)
P_{(u′=± \frac{1}{2} )}^{2} =  \frac{C_{1}}{6} \frac{1}{64} − \frac{C_{1}}{4} (\frac{1}{4} + b^{2})\frac{1}{16} + \frac{C_{1}}{8} b^{2} \frac{1}{4} + C_{2} = r^{2}  C_{1} ≠ 0 だから b = \frac{1}{2\sqrt{3}} (11)

(9) に (10) (11) を代入して

\overline{OP}^{2} =  \frac{C_{1}}{6} u^{′2}(u^{′2} − \frac{1}{4})^{2} + r^{2}  (12)

C_{1} を求める。 (7) より

P =  P_{0}(1 − u)^{3} + 3P_{1}u(1 − u)^{2} + 3P_{2}u^{2}(1 − u) + P_{3}u^{3}
=  u^{3}(−P_{0} + 3P_{1} − 3P_{2} + P_{3}) + (u の２次以下の式）
\overline{OP}^{2} =  u^{6}(−P_{0} + 3P_{1} − 3P_{2} + P_{3})^{2} + (u の 5 次以下の式）
\frac{C_{1}}{6} =  (−P_{0} + 3P_{1} − 3P_{2} + P_{3})^{2}
=  (2P_{0} + 3a \overrightarrow{n_{1}} − 3a \overrightarrow{n_{2}} − 2P_{3})^{2}

中心 O を原点 (0, 0, 0) として考えると P_{0}^{2} = P_{3}^{2} = r^{2}, \overrightarrow{n_{1}}^{2} = \overrightarrow{n_{2}}^{2} = 1, P_{0} · \overrightarrow{n_{1}} = P_{3} · \overrightarrow{n_{2}} = 0, P_{0} · \overrightarrow{n_{2}} = P_{3} · \overrightarrow{n_{1}} = r sin(θ), P_{0} · P_{3} = r^{2} cos(θ) \overrightarrow{n_{1}} · \overrightarrow{n_{2}} = − cos(θ) なので (8) を代入して

\frac{C_{1}}{6} = \frac{8r^{2}(\sqrt{1 + cos θ} − \sqrt{2})^{4}}{1 − cos θ}  (13)

区間 0 < = u < = 1 の最大誤差は、 u = \frac{1}{2} ± \frac{1}{2\sqrt{3}} = \binom{0.211325...}{0.788675...} （即ち u′ = ±\frac{1}{2\sqrt{3}}）のときで

\overline{OP} _{(}^{2}u′ = ±b) = \frac{r^{2}(\sqrt{1 + cos θ} − \sqrt{2})^{4}}{54(1 − cos θ)} + r^{2}  (max of \overline{OP} − r) ≐ ; . \frac{r(\sqrt{1 + cos θ} − \sqrt{2})^{4}}{108(1 − cos θ)}  (14)

誤差が 0.01 以下になるためには

θ = 90 のとき r < 36.7
θ = 45 のとき r < 2355