２つの円筒面 A, B （半径は各々 R, r）の交差曲線を求める。円筒 A の軸を X 軸に置き、円筒 B の軸上で円筒 A の軸に一番近くなる点を Z 軸上に来るように配置し

ても、一般性は失われない。

このとき、円筒 B の軸は XY 平面と平行であり、円筒 B の軸の Y 軸方向からのずれの角度を α （反時計回り正）とし、２円筒の軸の距離を β （Z 軸向きを正）とする。

すなわち、次の円筒の交線を求める。

A :  X 軸を軸とする半径 R の円筒
B :  Z = β平面上で Y 軸方向からをαだけ回転した直線を軸とする半径 r の円筒

B の上の点は、パラメータ θ, u を使って

P (θ, u) = ( \begin{matrix}cos α & − sin α & 0 \\ sin α & cos α & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}r cos θ \\ u \\ r sin θ \end{matrix} ) + ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ β \end{matrix} )

これが、円筒 A の上にあるから、

P_{y}^{2} + P_{z}^{2} =  (r cos θ sin α + u cos α)^{2} + (r sin θ + β)^{2} = R^{2}
u =  \frac{−r cos θ sin α ± \sqrt{R^{2} − (r sin θ + β)^{2}}}{cos α}

交線上の点はパラメータ θ を使って次のように表される。

P (θ) = ( \begin{matrix}P_{x} \\ P_{y} \\ P_{z} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}r cos θ cos α − tan α(−r cos θ sin α ± \sqrt{R^{2} − (r sin θ + β)^{2}}) \\ ±\sqrt{R^{2} − (r sin θ + β)^{2}} \\ r sin θ \end{matrix} )

α = 0, β = 0 のとき２円筒の軸は XY 平面上で直交していて

P (θ) = ( \begin{matrix}P_{x} \\ P_{y} \\ P_{z} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}r cos θ \\ ±\sqrt{R^{2} − r^{2} sin^{2} θ} \\ r sin θ \end{matrix} )